CF1292C Xenon's Attack on the Gangs

题目链接: https://codeforces.com/problemset/problem/1292/C

题意

在一颗有n个节点的树上，给每个边赋值，所有的值都在 \([0,n-2]\) 内并且不重复，也就是一条边一个权值，令 \(mex(u,v)\) 表示从 \(u到v\) 这条简单路径上没有出现过的最小自然数，要求使所有路径的 \(mex\) 之和最大。

分析

最开始我一看这个题，统计答案的时候好像就需要 \(O(N^2)\) ,那这个题好像统计个答案就可能会T？当我看见时限是 \(3s\) 的时候我就知道我想多了，分析时间复杂度的时候提前看一下时限，防止因看错时限分析错时间复杂度。

首先这个边的权值肯定有规律，不然枚举权值时间复杂度会很高，最开始我想的是从每个边开始 \(dfs\) 一下把经过次数最多的边设成0，然后依次类推，每次 \(dfs\) 不访问重复经过的点，发现存在一个什么问题呢，就是从不同的点开始 \(dfs\) 造成的结果不一样，所以这样不可行，不妨先画一条链来看看。

如果已经放好了 \(0~x-1\) ，考虑 \(x\) 放哪个位置，如果我把 \(x\) 放到 \(5-v\) 上，那么 \(mex(u,5)\) 就会是 \(x\) ，然后只有 \(mex(u,v)\) 会等于 \(x+1\) ，但要是把 \(x\) 放到 \(u-1\) 或 \(4-5\) 上， \(mex\) 等于 \(x+1\) 的就不会只是 \(mex(u,v)\) 了。链上是这样，树上当然也是，所以 \(x\) 放到链的两端会使结果更优。

也就是这样，对于 \(u-v\) 的路径，4和5放在最两端时结果会更优，然后对最大值5的位置进行分类讨论，就可以求解出答案。

还有一个问题，如果我真的去把每个 \(mex\) 相加，的确很不现实，根据之前做过的一些类似的题，直接加上 \(x\) 相当于在 \(0~x-1\) 各加1，转化成对答案的贡献，也就是 \(size_u*size_v\) ,这样求解起来就会相对简单。

之前已经讲过，从不同的点开始 \(dfs\) 的结果是不同的，所以不能像平常那样统计 \(size\) ,而是应该在加一维表示根，这样才能保证得到我们想要的 \(size\) ，因为要枚举最大权值所在的地方，所以还要记录每个节点的父亲，同样也要记录根。

不妨用 \(dp_{u,v}\) 表示把 \(0~x-1\) 放到 \(u-v\) 的最大答案， \(s_{u,v}\) 表示 \(v\) 以 \(u\) 为根时的子树大小， \(fa_{u,v}\) 表示 \(v\)

以

\(u\)

为根时的父亲。于是有

\[dp_{u,v}=max(dp_{fa_{u,v},u},dp_{fa_{v,u},v})+s_{u,v}*s_{v,u} \]

然后此题就能得解，注意开long long

#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=3e3+10;
struct Edge{
    int to,nxt;
}e[N<<1];
int Head[N],len;
void Ins(int a,int b){
    e[++len].to=b;e[len].nxt=Head[a];Head[a]=len;
}
int rt;ll s[N][N],dp[N][N],f[N][N];
void dfs(int u){
    s[rt][u]=1;
    for(int i=Head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==f[rt][u])continue;
        f[rt][v]=u;
        dfs(v);
        s[rt][u]+=s[rt][v];
    }
}
ll calc(int u,int v){
    if(u==v)return 0;
    if(dp[u][v])return dp[u][v];
    return (dp[u][v]=max(calc(f[u][v],u),calc(f[v][u],v))+s[u][v]*s[v][u]);
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        Ins(a,b);Ins(b,a);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)rt=i,dfs(i);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        ans=max(ans,calc(i,j));
    cout<<ans;
}