深度学习中的数值计算

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前言

本系列文章为 《Deep Learning》 读书笔记，可以参看原书一起阅读，效果更佳。

数值计算

机器学习算法需要大量的数字计算，并且这些计算包含有一些迭代拟合的过程，在这个计算过程中，由于计算机的局限，无法完全精确的表示，因此总是存在误差的，小的误差经过迭代次数的增多，或者多个误差的叠加，甚至会使得算法不可用，系统失效。

上溢和下溢

• 下溢：在现有的精度无法表示那么小的数的时候，接近零的数四舍五入为零时，会发生下溢。
• 上溢：在现有的精度无法表示那么大的数的时候，数过大被近似为无限大的时候，会发生上溢。

解决办法：softmax 函数，也称 归一化指数函数 ，是逻辑函数的一种推广，将任意实数的 K 维向量映射到另外一个 K 维空间内，使得每一个元素都在 (0, 1) 之间。这里的 归一化 与之前在房价预测中提到的 标准化 不是一个概念（标准化对数据进行某种非线性变换，使其服从某一种分布，归一化对数值的范围进行缩放，不改变数据分布的一种线性变换）。

\[softmax(x)_i=\frac{e^{x_i}}{\sum_{j=1}^ne^{x_j}} \]

病态条件（poor conditioning）

这个词我觉得翻译不准确，但是大家都喜欢这么叫暂且先这么叫吧。一般来说这个概念针对的是方程组或矩阵，微小的扰动让方程组的解发生巨大的变化，这样的方程组称为病态方程组，他们的系数组成的矩阵叫病态矩阵。

与之相关的还有一个概念叫 条件数 ：函数相对于输入的微小变化而变化的程度，可以理解为一种敏感度。计算方法是求矩阵极大和极小特征值之比。

\[\max_{i,j}=|\frac{\lambda_i}{\lambda_j}| \]

基于梯度的优化方法

这个概念要分几步去理解。对于深度学习算法，往往会定义出很多函数，针对具体的问题，我们往往需要让某些函数的函数值尽可能的小或大，求最大值极值，我们往往求导（针对多个变量，这里的求导包括求偏导和方向导数），也会求梯度。 梯度下降 指的是往梯度方向相反方向移动一个小距离来减小函数值的方法。这里还有极小值、极大值、驻点、最大值、最小值等概念，不再赘述。

雅可比矩阵（Jacobian）

在向量分析中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，它的重要性是体现了一个可微分方程与给出点的最优线性逼近。

\[J_{i,j}=\frac{\partial}{\partial x_j}f(x)_i \]

海森矩阵（Hessian）

函数有多维输入时，二维导数有很多，将其合为一个矩阵，就是海森矩阵，等价于梯度的雅可比矩阵。

\[H(f)(x)_{i,j}=\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}f(x)=H(f)(x)_{j,i} \]

一个点在每个方向上的二阶导数是不同的，海森的条件数衡量这些二阶导数的变化范围，当海森的条件数变得很差时，梯度下降法也会表现得很差，在 牛顿法 中，我们用海森矩阵指导搜索，来解决上面这个问题。

• 二阶导数测试：一阶导数等于 0，二阶导数大于零是一个极小值点；一阶导数等于 0，二阶导数小于零是一个极大值。
• 仅使用梯度信息的优化算法称为 一阶优化算法 ，使用海森矩阵的优化算法称为 二阶优化算法 。

总结

这一部分的内容涉及东西比较多，书中的内容还包括一些推导和解释，看上文看的不是很清楚的请阅读原书，那就不是我的笔力所能讲清楚的了。

到此本书中关于应用数学相关的内容就结束了，想要放弃了吗？

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