简化版(小素数版)RSA算法的PHP实现

栏目: IT技术 · 发布时间: 4年前

内容简介:我们这学期的课程《信息安全与保密》要求期末作业实现一个密码算法及对应的加解密系统,其中做RSA的要求实现加解密、数字签名。考虑到我因为太菜,当初遇到了不少问题,莆田搜索RSA算法实现想参考一下的时候找不到PHP版本的,所以我完成作业后打算自己整一篇以供有需要的后来者参考考虑到我们期末作业主要任务是“实现RSA加解密、数字签名”,故没有采用大整数运算,受PHP的数据精度限制,素数范围在2的32到48次方(4.29E9~2.81E14),标题中的“简化版”即此意由于在学校的时候事情比较多,所以一直拖到了放假才开

0×00 前言

我们这学期的课程《信息安全与保密》要求期末作业实现一个密码算法及对应的加解密系统,其中做RSA的要求实现加解密、数字签名。考虑到我因为太菜,当初遇到了不少问题,莆田搜索RSA算法实现想参考一下的时候找不到 PHP 版本的,所以我完成作业后打算自己整一篇以供有需要的后来者参考

考虑到我们期末作业主要任务是“实现RSA加解密、数字签名”,故没有采用大整数运算,受PHP的数据精度限制,素数范围在2的32到48次方(4.29E9~2.81E14),标题中的“简化版”即此意

由于在学校的时候事情比较多,所以一直拖到了放假才开始写,时间有点久了,有些细节记得不大清楚,而且受限于自己的水平,应该会有不少错漏;当时时间比较紧迫,函数封装等也不甚合理

文中内容主要摘自段云所、卫仕民、唐礼勇、陈钟所编《信息安全概论》(高等教育出版社,2003.9)及我上课记的笔记(特别注明之处除外),我的笔记可能也会有错漏之处,烦请海涵并指正 */

建立一个RSA密码体制的过程如下:

  1. 选择两个大素数p和q

  2. 计算乘积n=pq和fai(n)=(p-1)(q-1)

  3. 选择大于1小于fai(n)的随机整数e,使得gcd(e, fai(n))=1

  4. 计算d使得de与1mod fai(n)同余

  5. 对每一个密钥k=(n,p,q,d,e),定义加密变换为Ek(x)=x^e mod n,解密变换为Dk(x)=y^d mod n,这里x,y属于整数

  6. 以{e,n}为公开密钥,{p,q,d}为私有密钥

//其中的fai(n)即欧拉函数,意为“和n互素的数的数量”

0×01 Miller-Rabin算法(素性检测)

密钥中的p和q须为素数,而素数选取需要用到素性检测,Miller-Rabin算法可以实现素性检测。由William Stallings所著的《密码编码学与网络安全——原理与实践(第七版)》可知Miller-Rabin算法如下:

过程TEST输入整数n, 若n不是素数,则返回“合数”,若n可能是素数,也可能不是素数时,返回“不确定”

TEST(n)

  1. 找出整数k, q,其中k>0, q是奇数,使(n-1=(2^k)*q)

  2. 随机选取整数a, 1<a<n-1

  3. if a^q mod n=1, then 返回“不确定”

  4. for j=0 to k-1 do

  5. if a^((2^j)*q) mod n=n-1 then 返回“不确定”

  6. 返回“合数”

而对合数n=13*17=221应用上述测试,若选取a=5,则算法返回“合数”;假设我们选取a=21,则21^55mod221=200, (21^55)^2mod221=220,则测试算法返回“不确定”,意即221可能是素数

故我们需要 重复使用Miller-Rabin算法

对随机选取的a重复调用TEST(n),如果某时刻TEST返回“合数”,则n一定不是素数;若TEST连续t次返回“不确定”,当t足够大时,我们可以相信n是素数

实现如下:

function millerRabinAlgorithmV2($n)  //参照William Stallings所著的《密码编码学与网络安全——原理与实践(第七版)》实现的Miller-Rabin算法,素性检测
{
    $k = 1;
    $q = ($n - 1) / 2;
    while (pow(2, $k) < $n - 1) {  //1.找 n-1 = 2^k *q 中的k和q
        $q = ($n - 1) / 2;
        while (pow(2, $k) * $q < $n - 1) {
            if (pow(2, $k) * $q == $n - 1) {  //若满足条件,说明找到了对应的k和q,终止循环,否则q减小,继续寻找对应的q
                break;
            }
            $q -= 2;
        }
        if (pow(2, $k) * $q == $n - 1) {  //若满足条件,说明上面的内部循环找到了对应的k和q,则终止外部循环,否则说明没有找到对应的q,故k增大,继续寻找满足条件的k和q
            break;
        }
        $k++;
    }
    $flags = [];  //用数组存储重复调用Miller-Rabin算法产生的结果
    while (true) {
        $flags = [];
        for ($times = 0; $times < 10; $times++) {  //设t为10,重复调用10次
            $flag = false;  //6. 若下面的条件都不满足,$flag没有置true,则不是素数
            $a = mt_rand(2, $n - 2);  //2. 随机选取整数a, 1<a<n-1
            if (squareMultiAlgorithm($a, $q, $n) == 1) {
                $flag = true;  //3. 有可能是素数
            }
            for ($j = 0; $j < $k; $j++) {  //4. for j=0 to k-1
                $exponent = pow(2, $j) * $q;
                if (squareMultiAlgorithm($a, $exponent, $n) == $n - 1) {
                    $flag = true;  //5. 有可能是素数
                }
            }
            array_push($flags, $flag);  //把判断结果存入数组
        }
        $isTrue = true;
        foreach ($flags as $flag) {  //遍历结果数组,判断TEST是否连续t次返回“不确定”
            if ($flag != $flags[0]) {
                $isTrue = false;  //如果数组中有结果与其他结果不一样,说明n一定不是素数
                break;
            }
        }
        if ($isTrue) {
            break;
        }
    }
    return $flags[0];  //返回判断结果
}

0×02 素数选取

实现了素性检测之后,就可以实现素数选取

为了防止敌手通过穷举方法发现p和q,p和q应该从很大的**中选取,因而要求p和q应该是大数

//考虑到我们期末作业主要任务是“实现RSA加解密、数字签名”,故没有采用大整数运算,受PHP的数据精度限制,素数范围在2的32到48次方(4.29E9~2.81E14)

目前我们并没有产生随机大素数的有效的方法。采用的方法是 随机选取一个足够大的奇数并检验它是否是素数

实现如下:

function getBigPrimeNum()  //按照课本的方法实现的选取“大”素数(32到48位)
{
    $n = 0;
    while (!($n % 2)) {  //随机选取一个奇数
        $n = mt_rand((int)pow(2, 32), (int)pow(2, 48));
    }
    while (!millerRabinAlgorithmV2($n)) {  //进行素性检测
        $n *= 2;
        while (!($n % 2)) {  //若素性检测返回false,说明不是素数,则再选取一个奇数进行素性检测
            $n = mt_rand((int)pow(2, 8), (int)pow(2, 12));
        }
        $i = 0;
    }
    return $n;
}

0×03 辗转相除法(求gcd)

公钥选取过程中需要求gcd(最大公约数),需要用辗转相除法

实现如下:

function gcd($e, $fai)  //辗转相除法,求两个参数的最大公约数
{
    while (($fai % $e) != 0) {
        $faiOld = $fai;
        $fai = $e;
        $e = $faiOld % $e;
    }
    return $e;
}

0×04 “平方-乘”算法(求 M^e mod n)

在RSA的加密和解密中都涉及求一个大整数的幂,然后模n。如果先对整数做幂运算然后再模n,中间结果将是天文数字。有一种计算模指数的有效算法“平方-乘”算法, 将e写成二进制形式b(k)b(k-1)…b(0) ,则计算M^e mod n的算法:

d=1;
for i=k downto 0 do
    d = d^2 mod n;
    if b(i)=1 then d=(d*M) mod n;
return d;

实现如下:

function squareMultiAlgorithm($m, $e, $n)  //“平方-乘”算法,求 M^e mod n
{
    $e = decbin($e);  //将e写成二进制形式
    $d = 1;
    for ($i = 0; $i < strlen($e); $i++) {
        $d = pow($d, 2) % $n;
        if ($e[$i] == 1) {
            $d = ($d * $m) % $n;
        }
    }
    return $d;
}

0×05 加密

实现了平方乘算法后就可以实现加解密了

假设接收方B公开了他的公钥,而Alice(发送方)希望向他发送一个消息(明文)M,那么发送方A计算密文 C=M^e mod n 并将C传送给B

实现如下:

function Ek($m, $pub)  //加密,pub即公钥,包含e和n
{
    $e = $pub["e"];
    $n = $pub["n"];
    return squareMultiAlgorithm($m, $e, $n);
}

0×06 解密

B(接收方)收到密文后通过计算 M=C^d mod n 进行解密

//n=p*q

实现如下:

function Dk($c, $pri)  //解密,pri即私钥,包含d、p、q
{
    $d = $pri["d"];
    $n = $pri["p"] * $pri["q"];
    return squareMultiAlgorithm($c, $d, $n);
}

0×07 密钥选取

本节的内容相当于主函数,不过我都写在了函数外,使声明的变量作为全局变量,以便其他函数调取

1. 选择两个大素数p和q

$p = getBigPrimeNum();
$q = getBigPrimeNum();

2. 计算乘积n=pq和fai(n)=(p-1)(q-1)

fai(n)即欧拉函数,意为“和n互素的数的数量”

$n = $p * $q;
$fai = ($p - 1) * ($q - 1);

3. 选择大于1小于fai(n)的随机整数e,使得gcd(e, fai(n))=1

$e = mt_rand(2, $fai);
while (gcd($e, $fai) != 1) {  //选择e使得gcd(e, fai)=1 (即e与fai互素)
    $e = mt_rand(2, $fai);
}

4. 计算d使得de与1 mod fai(n) 同余

$d = 2;
while ((($d * $e) % $fai) != 1 && $d < $fai) {  //计算d使得de与1 mod fai 同余
    $d++;
}

5. 以{e,n}为公开密钥,{p,q,d}为私有密钥

$pub = ["e" => $e, "n" => $n];  //公钥
$pri = ["p" => $p, "q" => $q, "d" => $d];  //私钥

0×08 后记

加解密算法部分的内容就这么些,我都写在了同一个PHP文件SimplifiedRSA.php里以便其他php页面include

由于我们期末作业的要求是实现RSA算法,所以数字签名的哈希我用了PHP自带的hash函数,其他部分无非调用前面的加解密、补零和还原之类的内容,由于我水平有限,我的实现方法也比较原始(low),这里就不详写了,感兴趣的话可往GitHub浏览源码

源码: github.com/NEPTLIANG/Web/tree/master/SimplifiedRSA

源码文件目录结构:

.
├── Client  前端页面
│   ├── DigitalSignature  数字签名页面
│   │   ├── DigitalSignature.html
│   │   └── Style
│   │       ├── index.css        
│   │       └── Result.css       
│   └── EncryAndDecry
│       └── Style
│           ├── index.css       
│           └── Result.css      
├── index.html  主页,即加解密页面
└── Server
    ├── DigitalSignature  数字签名部分
    │   ├── DigitalSignature.php  数字签名、验证等函数实现
    │   ├── SignatureResult.php  签名调用及结果页面
    │   └── VerifyResult.php  签名验证调用及结果页面
    └── EncryAndDecry  加解密部分
        ├── DecryptionResult.php  解密调用及结果页面
        ├── EncryptionResult.php  加密调用及结果页面
        └── SimplifiedRSA.php  素性检测、加解密等函数实现与密钥生成

参考文献:

1.《密码编码学与网络安全——原理与实践(第七版)》William Stallings,
2.《信息安全概论》段云所、卫仕民、唐礼勇、陈钟

//End of Article

*本文原创作者:NeptLiang,本文属于FreeBuf原创奖励计划,未经许可禁止转载


以上所述就是小编给大家介绍的《简化版(小素数版)RSA算法的PHP实现》,希望对大家有所帮助,如果大家有任何疑问请给我留言,小编会及时回复大家的。在此也非常感谢大家对 码农网 的支持!

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