内容简介:作者 | OverRedMaple
作者 | OverRedMaple
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如果你还在发愁究竟怎么计算时间复杂度和空间复杂度,那你是来对地方了!
名词解释:
在计算机科学中,时间复杂性,又称时间复杂度,算法的时间复杂度是一个函数,它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述,不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时,时间复杂度可被称为是渐近的,亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。
时间复杂度的表示方法
其实就是算法(代码)的执行效率,算法代码的执行时间。我们来看下面一个简单的代码:
int sumFunc(int n) { int num = 0; // 执行一次 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 执行n次 num = num + i; // 执行n次 } return num;}
假设,每行代码的执行时间为t,那么这块代码的时间就是(2n+2)*t
由此得出: 代码执行时间T(n)与代码的执行次数是成正比的!
那么我们来看下一个例子:
int sumFunc(int n) { int num = 0; // 执行一次 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 执行n次 for (int j = 1; j <= n; ++j) { //执行n*n次 num = num + i * j; // 执行n*n次 } }}
同理,该代码执行时间为(2n*n+n+1)*t,没意见吧?继续往后看!
注意: 在数据结构/算法中,通常使用T(n)表示代码执行时间,n表示数据规模大小,f(n)表示代码执行次数综合,所以上面这个例子可以表示为 f(n)=(2n*n+n+1)*t ,其实就是一个求总和的式子, O (大写O)表示代码执行时间与 f(n) 成正比例。
根据上面两个例子得出结论: 代码的执行时间 T(n)与每行代码的执行次数 n 成正比 ,人们把这个规律总结成这么一个公式: T(n) = O(f(n))
所以呢,第一个例子中的 T(n)=O(2n+1),第二个例子中的 T(n)=O(2n*n+n+1),这就是时间复杂度表示法,也叫大O时间复杂度表示法。
但是, 大O时间复杂度 并不具体表示代码 真正的执行时间 ,而是表示 代码执行时间随数据规模增长的变化趋势 ,所以,也叫作 渐进时间复杂度 ,简称 时间复杂度 。
与泰勒公式相反的是,算了,扯哪去了…
当n变得越来越大时,公式中的低阶,常量,系数三部分影响不了其增长趋势,所以可以直接忽略他们,只记录一个最大的量级就可以了,所以上述两个例子实际他们的时间复杂度应该记为:T(n)=O(n) ,T(n)=O(n*n)
我想你应该明白大致是怎么回事了,那么我们来看看如何去计算它?
时间复杂度的分析与计算方法
(1)循环次数最多原则
我们上面说过了,当n变得越来越大时,公式中的低阶,常量,系数三部分影响不了其增长趋势,可以直接忽略他们,只记录一个最大的量级就可以了。因此我们在计算时间复杂度时, 只需关注循环次数最多的那段代码即可。
int sumFunc(int n) { int sum = 0; //执行1次,忽略不计 for (int i = 0; i < n; i++) { sum += i; // 循环内执行次数最多,执行次数为n次,因此时间复杂度记为O(n) } return sum; //执行1次,忽略不计 }
(2)加法原则
int sumFunc(int n) { int sum = 0; //常量级,忽略 for (int i = 0; i < 99; i++) { sum += i; //执行100次,还是常量级,忽略 } for (int i = 0; i < n; i++) { sum += i; //执行n次 } for (int i = 0; i < n; i++){ for (int j = 0; j < n; j++) { sum += i; //执行n*n次 } } return sum; }
上述例子中,最大的两块代码时间复杂度分别为 O(n)和O(n*n),其结果本应该是:T(n)=O(n)+O(n*n),我们取其中最大的量级,因此整段代码的复杂度为:O(n * n)
所以得出结论: 量级最大的那段代码时间复杂度=总的时间复杂度
(3)乘法原则
嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
void Func1(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { Func2(n); //执行n次,每次都会调用Func2函数执行n次 } } void Func2(int n) { int sum = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { sum += 1; //执行n次 } }
因此这段代码时间复杂度为 O(n) * O(n) = O(n*n) = O(n*n)
同理,如果将其中一个n换成m,那么它的时间复杂度就是 O(n*m)
常见的几种时间复杂度
(1)O(1)常量级时间复杂度
void Func(void) { for (int i = 0; i < 100; i++) { printf("hello"); //执行一百次,也是常量级,记为O(1) } }
void Func(void) { printf("hello"); printf("hello"); printf("hello"); //各执行一次,还是记为O(1) }
相信你也看明白了,O(1)不是说代码只有一行,这个1它代表的是一个常量,即使它有以前一万行这样的也是O(1),因为它是固定的不会变化(也就是常量), 所以凡是常量级复杂度代码,均记为O(1)
(2)常见的O(n)复杂度
void Func(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { printf("hello"); } }
不用多说了吧!继续!
(3)O(logn),O(nlogn) ,这就有点难度了!
首先我们来回忆以下换底公式:
记住公式啊,来看例子:
void Func(int n) { for (int i = 1; i < n; i++) { i = i * 2; } }
可以看出,i = i * 2这行代码执行次数是最多的,那么到底执行了多少次呢?
第一次 i=2,执行第二次 i=4,执行第三次 i=8…
假设它执行了x次,那么x的取值为:
当上述代码的2改成3的时候,x的取值也就是:
当然不管log的底数是几,是e也好,是10也罢,统统记为:
这是为啥子念?由换底公式可以计算出:
换底之后,可以看出log3(2)其实就是一个常数,忽略它!而在这场游戏中,log默认就是以2为底的,所以统统记为 O(logn) 。
void Func(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { Func2(n); //执行n次,嵌套调用,每次调用执行logn次 } } void Func2(int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { i = i * 2; //执行logn次 } }
所以这个O(nlogn)也很好理解了吧!
其他就不赘述了,相信聪明的你一定可以举一反三!如果对你有帮助,就点个“在看”支持下作者吧!
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