人脸识别损失函数简介与Pytorch实现：ArcFace、SphereFace、CosFace

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来源： 知乎

作者：Uno Whoiam

链接： https://zhuanlan.zhihu.com/p/60747096

本文 已由作者授权转载，未经允许，不得二次转载。

一般来说，人脸识别分三步走：

1. 找人脸： 图片中找出含人脸的区域框出来

2. 对齐人脸： 将人脸的眼镜鼻子嘴巴等标出来，以此作为依据对齐人脸

3. 识别： 将对齐的人脸进行识别，判定这张脸究竟是谁

本篇要介绍的损失函数，用于第三步骤，聚焦于更准确地识别这张脸究竟属于谁，本质上属于一个分类问题。

一言以蔽之ArcFace、SphereFace、CosFace三个损失函数相对于前辈们而 言，改进的一个核心思路就是：

只有平常（train）更刻苦的训练，才有可能在比赛中（test）中得到更好的结果。 

它们都对卷积神经网络提出了更高的目标，在训练阶段更为艰难，也因此让其成为了一个更好的分类器。

一、从前辈说起

首 先谈谈他们的前辈：  

维基百科介绍：

简单来说 softmax 将一组向量进行压缩，使得到的向量各元素之和为 1，而压缩后的值便可以作为置信率，所以常用于分类问题。 另外，在实际运算的时候，为了避免上溢和下溢，在将向量丢进softmax之前往往先对每个元素减去其中最大值，即：

想了解更多，可以参考： 忆臻： softmax函数计算时候为什么要减去一个最大值？https://zhuanlan.zhihu.com/p/29376573

再谈谈一个容易搞混的东西：  

上面我们丢入一个长度为     的     向量，得到     ，而softmax loss呢，则是：

其中     是一个长度为     的one-hot向量，即     ，只有ground truth对应的     。 所以也可以简写为：

到这里我们不妨在看看交叉熵     ：

其中     是真实分布，在分类任务中，     实际上等价于上面的     。 而     则是预测分布，在分类任务中     实际上等价于上面的     。 这样一来进行化简就得到：

我咋觉得这么眼熟呢...

所以，我们可以得到：

参考链接： https://blog.csdn.net/u014380165/article/details/77284921

二、SphereFace

论文地址： https://arxiv.org/pdf/1704.08063.pdf

要想增强     的分类能力，其实就是要在分布上做到两点：

1. 让同类之间距离更近

2. 让不同类之间距离更远

不妨继续看看   ：

其中     代表两个向量     之间的夹角，如果对     归一化，将偏置     置为0，即     ，则有：

下标     表示     。

对于     我们乘上一个大于等于1的整数     ：

这样不仅放大了类之间的距离，也因放大了同类     与     之间的间隔而使类内更聚拢。

不过上述公式仍有问题： 原来的     ，如今     超出了向量之间的夹角函数     定义域范围     咋办？

那就变个函数呗，把n个cos怼起来变成一个递减的连续的函数：

这样一来：

如此我们就得到了SphereFace的损失函数  

原论文则是：

其中     表示第    个样本，     表示第     个样本的     标签，    表示第    和样本     之间的夹角。

论文中的可视化图片：

pytorch代码实现：

# SphereFace
class SphereProduct(nn.Module):
    r"""Implement of large margin cosine distance: :
    Args:
        in_features: size of each input sample
        out_features: size of each output sample
        m: margin
        cos(m*theta)
    """

    def __init__(self, in_features, out_features, m=4):
        super(SphereProduct, self).__init__()
        self.in_features = in_features
        self.out_features = out_features
        self.m = m
        self.base = 1000.0
        self.gamma = 0.12
        self.power = 1
        self.LambdaMin = 5.0
        self.iter = 0
        self.weight = Parameter(torch.FloatTensor(out_features, in_features))
        nn.init.xavier_uniform(self.weight)

        # duplication formula
        # 将x\in[-1,1]范围的重复index次映射到y\[-1,1]上
        self.mlambda = [
            lambda x: x ** 0,
            lambda x: x ** 1,
            lambda x: 2 * x ** 2 - 1,
            lambda x: 4 * x ** 3 - 3 * x,
            lambda x: 8 * x ** 4 - 8 * x ** 2 + 1,
            lambda x: 16 * x ** 5 - 20 * x ** 3 + 5 * x
        ]
        """
        执行以下代码直观了解mlambda
        import matplotlib.pyplot as  plt
        mlambda = [
            lambda x: x ** 0,
            lambda x: x ** 1,
            lambda x: 2 * x ** 2 - 1,
            lambda x: 4 * x ** 3 - 3 * x,
            lambda x: 8 * x ** 4 - 8 * x ** 2 + 1,
            lambda x: 16 * x ** 5 - 20 * x ** 3 + 5 * x
        ]
        x = [0.01 * i for i in range(-100, 101)]
        print(x)
        for f in mlambda:
            plt.plot(x,[f(i) for i in x])
            plt.show()
        """

    def forward(self, input, label):
        # lambda = max(lambda_min,base*(1+gamma*iteration)^(-power))
        self.iter += 1
        self.lamb = max(self.LambdaMin, self.base * (1 + self.gamma * self.iter) ** (-1 * self.power))

        # --------------------------- cos(theta) & phi(theta) ---------------------------
        cos_theta = F.linear(F.normalize(input), F.normalize(self.weight))
        cos_theta = cos_theta.clamp(-1, 1)
        cos_m_theta = self.mlambda[self.m](cos_theta)
        theta = cos_theta.data.acos()
        k = (self.m * theta / 3.14159265).floor()
        phi_theta = ((-1.0) ** k) * cos_m_theta - 2 * k
        NormOfFeature = torch.norm(input, 2, 1)

        # --------------------------- convert label to one-hot ---------------------------
        one_hot = torch.zeros(cos_theta.size())
        one_hot = one_hot.cuda() if cos_theta.is_cuda else one_hot
        one_hot.scatter_(1, label.view(-1, 1), 1)

        # --------------------------- Calculate output ---------------------------
        output = (one_hot * (phi_theta - cos_theta) / (1 + self.lamb)) + cos_theta
        output *= NormOfFeature.view(-1, 1)

        return output

    def __repr__(self):
        return self.__class__.__name__ + '(' \
               + 'in_features=' + str(self.in_features) \
               + ', out_features=' + str(self.out_features) \
               + ', m=' + str(self.m) + ')'

三、CosFace

论文地址：https://arxiv.org/pdf/1801.09414.pdf

和SphereFace类似，CosFace也是从 的余弦表达形式入手，令 。与此同时，作者发现  对于分类并没有啥帮助，所以干脆将其固定 ，所以有：

应该代表归一化的     。

接下来与上文     类似的是也引入了常数    ，不同的是这里的     是加上去的：

以上我们就得到了CosFace中提出的Large Margin Cosine Loss

代码实现：

# CosFace
class AddMarginProduct(nn.Module):
    r"""Implement of large margin cosine distance: :
    Args:
        in_features: size of each input sample
        out_features: size of each output sample
        s: norm of input feature
        m: margin
        cos(theta) - m
    """

    def __init__(self, in_features, out_features, s=30.0, m=0.40):
        super(AddMarginProduct, self).__init__()
        self.in_features = in_features
        self.out_features = out_features
        self.s = s
        self.m = m
        self.weight = Parameter(torch.FloatTensor(out_features, in_features))
        nn.init.xavier_uniform_(self.weight)

    def forward(self, input, label):
        # --------------------------- cos(theta) & phi(theta) ---------------------------
        cosine = F.linear(F.normalize(input), F.normalize(self.weight))
        phi = cosine - self.m
        # --------------------------- convert label to one-hot ---------------------------
        one_hot = torch.zeros(cosine.size(), device='cuda')
        # one_hot = one_hot.cuda() if cosine.is_cuda else one_hot
        one_hot.scatter_(1, label.view(-1, 1).long(), 1)
        # -------------torch.where(out_i = {x_i if condition_i else y_i) -------------
        output = (one_hot * phi) + ((1.0 - one_hot) * cosine)
        # you can use torch.where if your torch.__version__ is 0.4
        output *= self.s
        # print(output)

        return output

    def __repr__(self):
        return self.__class__.__name__ + '(' \
               + 'in_features=' + str(self.in_features) \
               + ', out_features=' + str(self.out_features) \
               + ', s=' + str(self.s) \
               + ', m=' + str(self.m) + ')'

四、ArcFace

论文地址：https://arxiv.org/pdf/1801.07698.pdf

话不多说，直接上公式：

可以看到和CosFace非常类似，只是将     作为角度加上去了，这样就强行拉大了同类之间的角度，使得神经网络更努力地将同类收得更紧。

伪代码实现步骤：

1. 对   进行归一化

2. 对   进行归一化

3. 计算   得到预测向量 

4. 从   中挑出与ground truth对应的值

5. 计算其反余弦得到角度

6. 角度加上m

7. 得到挑出从   中挑出与ground truth对应的值所在位置的独热码

8. 将   通过独热码放回原来的位置

9. 对所有值乘上固定值 

代码实现：

# ArcFace
class ArcMarginProduct(nn.Module):
    r"""Implement of large margin arc distance: :
        Args:
            in_features: size of each input sample
            out_features: size of each output sample
            s: norm of input feature
            m: margin
            cos(theta + m)
        """

    def __init__(self, in_features, out_features, s=30.0, m=0.50, easy_margin=False):
        super(ArcMarginProduct, self).__init__()
        self.in_features = in_features
        self.out_features = out_features
        self.s = s
        self.m = m
        # Parameter 的用途：
        # 将一个不可训练的类型Tensor转换成可以训练的类型parameter
        # 并将这个parameter绑定到这个module里面
        # net.parameter()中就有这个绑定的parameter，所以在参数优化的时候可以进行优化的
        # https://www.jianshu.com/p/d8b77cc02410
        # 初始化权重
        self.weight = Parameter(torch.FloatTensor(out_features, in_features))
        nn.init.xavier_uniform_(self.weight)

        self.easy_margin = easy_margin
        self.cos_m = math.cos(m)
        self.sin_m = math.sin(m)
        self.th = math.cos(math.pi - m)
        self.mm = math.sin(math.pi - m) * m

    def forward(self, input, label):
        # --------------------------- cos(theta) & phi(theta) ---------------------------
        # torch.nn.functional.linear(input, weight, bias=None)
        # y=x*W^T+b
        cosine = F.linear(F.normalize(input), F.normalize(self.weight))
        sine = torch.sqrt(1.0 - torch.pow(cosine, 2))
        # cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-size(a)*sin(b)
        phi = cosine * self.cos_m - sine * self.sin_m
        if self.easy_margin:
            # torch.where(condition, x, y) → Tensor
            # condition (ByteTensor) – When True (nonzero), yield x, otherwise yield y
            # x (Tensor) – values selected at indices where condition is True
            # y (Tensor) – values selected at indices where condition is False
            # return:
            # A tensor of shape equal to the broadcasted shape of condition, x, y
            # cosine>0 means two class is similar, thus use the phi which make it
            phi = torch.where(cosine > 0, phi, cosine)
        else:
            phi = torch.where(cosine > self.th, phi, cosine - self.mm)
        # --------------------------- convert label to one-hot ---------------------------
        # one_hot = torch.zeros(cosine.size(), requires_grad=True, device='cuda')
        # 将cos(\theta + m)更新到tensor相应的位置中
        one_hot = torch.zeros(cosine.size(), device='cuda')
        # scatter_(dim, index, src)
        one_hot.scatter_(1, label.view(-1, 1).long(), 1)
        # -------------torch.where(out_i = {x_i if condition_i else y_i) -------------
        output = (one_hot * phi) + ((1.0 - one_hot) * cosine)
        # you can use torch.where if your torch.__version__ is 0.4
        output *= self.s
        # print(output)

        return output

到此ArcFace、SphereFace、CosFace的损失函数就介绍完啦~

参考链接：https://blog.csdn.net/fuwenyan/article/details/79657738

——  END ——

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